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Método de Gauss.Problemas de ecuaciones y sistemas. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

YA ESTÁN LOS VOLUNTARIOS DE NAVIDAD

Ejercicios voluntarios || Soluciones

Sistema de 3 ecuaciones. Método de Gauss.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas (SCD, tienen una única solución)

Sistemas que tienen ceros

Otra forma de resolver estos sistemas

SCD: (En el siguiente vídeo se realiza un ejemplo de este tipo de sistemas, OJO, lo resuelve utilizando matrices, tal y como está en las soluciones de los voluntarios)

SCI: Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)

SI: Sistema Incompatible (No tiene solución) 

PROBLEMA RESUELTO EN VÍDEO: La suma de tres números es 37, el menor disminuido en uno equivale a un tercio de la suma del mayor y el mediano; la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Hallar los números

Explicación sistema de inecuaciones:

Explicación inecuaciones con dos incógnitas:

Ecuaciones, sistemas y Gauss

Ejercicios voluntarios || Soluciones

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Sistema de ecuaciones no lineales con logaritmos y exponenciales

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Sistema de 3 ecuaciones. Método de Gauss.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas (SCD, tienen una única solución)

Sistemas que tienen ceros

Otra forma de resolver estos sistemas

SCD: (En el siguiente vídeo se realiza un ejemplo de este tipo de sistemas, OJO, lo resuelve utilizando matrices, tal y como está en las soluciones de los voluntarios)

SCI: Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)

SI: Sistema Incompatible (No tiene solución) 

DINÁMICA. FUERZAS . LEYES DE NEWTON

·La magnitud física que utilizamos para medir las interacciones se denomina fuerza.

·Fuerza es aquella causa capaz de producir cambios en el movimiento de un cuerpo o de cambiar su forma.

·Fuerzas de acción a distancia son aquellas cuyo efecto se aprecia sin que sea necesario que los cuerpos contacten entre sí.

·Fuerzas de contacto son aquellas que sólo se producen cuando los cuerpos están en contacto entre sí.

Suma de fuerzas y descomposicion vectorial

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA DINÁMICA (LEYES DE NEWTON)

INERCIA

1. Todo cuerpo tiene tendencia a permanecer en su estado de movimiento. Esta tendencia recibe el nombre de inercia.

2. La masa es una medida de la inercia de un cuerpo.

3. Para vencer la inercia de un cuerpo es necesario actuar sobre él mediante una fuerza.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA DINÁMICA (LEYES DE NEWTON)

1. Primer Principio (Ley de la Inercia): Un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta permanecerá en reposo o moviéndose con velocidad constante (MRU). Es decir, si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o todas las fuerzas que actúan sobre él se cancelan mutuamente, su inercia hace que se mantenga en reposo o que se mueva con MRU.

2. Segundo Principio (Principio Fundamental de la Dinámica): Un cuerpo sobre el que actúa una fuerza neta distinta de cero experimenta una aceleración que es proporcional a la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él.

La expresión matemática del Segundo Principio es: F = m·a  (Ecuación Fundamental de la Dinámica)

donde F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, m es su masa y a es la aceleración que experimenta dicho cuerpo.

Es decir, una fuerza provoca un cambio en el estado de movimiento de un cuerpo,

modificando su velocidad. Por tanto, las fuerzas hacen que el cuerpo se acelere, siendo dicha aceleración proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre él.

3. Tercer Principio (Ley de Acción y Reacción): La interacción entre dos cuerpos da lugar a que sobre cada uno de ellos aparezca de forma simultánea una fuerza. Ambas fuerzas son iguales en módulo y dirección pero de sentidos opuestos.

Cuando un cuerpo interactúa con otro, el primero ejerce sobre el segundo una fuerza. A la vez, el segundo ejerce sobre el primero otra fuerza, de manera que las dos fuerzas tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentidos opuestos. Ambas fuerzas reciben el nombre de acción y reacción.

Plano inclinado (cuidado al hallar las componentes del vector peso, dependiendo de si el ángulo elegido es el de inclinación o su complementario, emplearemos seno y coseno de manera distinta. Aplicar el sentido común a la trigonometría, no memorizar casos)

Ejercicios voluntarios || Soluciones

Polinomios y ecuaciones

Ejercicios voluntarios || Soluciones

Aquí os dejo ejercicios extra para practicar para el examen. Todos están resueltos:

• Ejercicios polinomios
• Ejericios polinomios y ecuaciones
• Ejercicios en vitutor sobre polinomios
• Ejercicios en vitutor sobre ecuaciones 

Sistema de ecuaciones no lineales con logaritmos y exponenciales

Métodos para factorizar un polinomio

Sacar factor común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces

1 x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2 2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x² + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3 x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x = a y x = b.

Igualdad notable

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 x² − 4 = (x + 2) · (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2  x⁴ − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) = (x + 2) · (x − 2) · (x² + 4)

Las raíces son x = − 2 y x = 2

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a² ± 2 a b + b² = (a ± b)²

Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces

La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.

La raíz es x = 2.

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax² + bx + c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:

ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)

Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar sus raíces

x⁴ − 10x² + 9

x² = t

x⁴ − 10x² + 9 = 0

t² − 10t + 9 = 0

x⁴ − 10x² + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

x⁴ − 2x² − 3

x² = t

t² − 2t − 3 = 0

x⁴ − 2x² + 3 = (x² + 1) · (x + ) · (x − )

Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c .

(x − 1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)³ + 3 · (− 1)² − 5 · (− 1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x = −1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.

2x − 3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Todas las raíces son racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales.

En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 12x³ + 8x² − 3x− 2

Probamos por: .

Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

Reducir fracciones algebraicas a común denominador

Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.

Reducir a común denominador las fracciones:

1Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común múltiplo, que será el común denominador.

x² − 1 = (x + 1) · (x − 1)

x² + 3x + 2 = (x +1 ) · (x + 2)

m.c.m. (x² − 1, x² + 3x + 2) = (x + 1) · (x − 1) · (x + 2)

2Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

Sumar fracciones algebraicas

La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

Sumar las fracciones algebraicas:

Fracciones algebraicas con distinto denominador

En primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.

Sumar las fracciones algebraicas:

Producto y cociente de fracciones algebraicas

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.

Multiplicar las fracciones algebraicas:

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Dividir las fracciones algebraicas: