Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
Si existe un número “a” tal, que :
La recta “x = a” es la asíntota vertical.
Ejemplo:
es la asíntota vertical.
Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite: :
La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
es la asíntota horizontal.
Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
es la asíntota oblicua.
Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.
Nota-2
En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.
Posición relativa de la función con respecto a la asíntota
Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:
Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota]. También podemos simplemente:
- Para ver si cuando x--> + ó - inf , la función está por encima o por debajo de la asíntota, hallamos el valor de la función en valores muy altos (o bajos) y comparamos con la asíntota.
Ejemplo:
La función tiene por asíntota oblicua la recta
Calculamos los puntos de intersección de ambas:
El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).
Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.
Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.
es la asíntota vertical.
es la asíntota horizontal.
es la asíntota oblicua.
tiene por asíntota oblicua la recta
Calculamos los puntos de intersección de ambas:
El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.
Esto nos indica que en el intervalola función está por encima de la asíntota y en el intervalo
la función está por debajo de la asíntota.
