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ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

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Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

1. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
   Si existe un número “a” tal, que :
   La recta “x = a” es la asíntota vertical.
   Ejemplo:
   es la asíntota vertical.
   
   
   
   
2. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
   Si existe el límite: :
   La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
   Ejemplo:
   es la asíntota horizontal.
   
   
   
   
3. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
   Si existen los límites: :
   La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
   Ejemplo:
   
   es la asíntota oblicua.
   
   
   

Nota-1

Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

Nota-2

En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

Posición relativa de la función con respecto a la asíntota

Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:

Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota]. También podemos simplemente:

- Para ver si cuando x--> + ó - inf , la función está por encima o por debajo de la asíntota, hallamos el valor de la función en valores muy altos (o bajos) y comparamos con la asíntota.

Ejemplo:

La función tiene por asíntota oblicua la recta

Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).

Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.

Ejercicios del libro resueltos